M. Verbitsky - MATH CURRICULUM

Школьная программа (экзамен Матшкольник)

• Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского.
  Начала квантовой механики (Кострикин-Манин).
  Группы преобразований плоскости и пространства.
  Вывод тригонометрических тождеств.
  Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского).
  Свойства инверсии.
  Действие дробно-линейных преобразований.
  
• Кольца, поля. Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа.
  Доказательство теоремы Абеля.
  Базис, ранг, определители, классические группы Ли.
  Сечения Дедекинда.
  Определение поля вещественных чисел.
  Определение тензорного произведения векторных пространств.
  
• Теория множеств.
  Лемма Цорна.
  Вполне упорядоченные множества.
  Базис Коши-Гамеля.
  Теорема Кантора-Бернштейна.
  Несчетность множества вещественных чисел.
  
• Метрические пространства.
  Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения).
  Счетная база.
  Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой.
  Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
  
• p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик.
  
• Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница.
  Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере.
  

Первый курс

• Анализ на Rⁿ.
  Дифференциал отображения.
  Лемма о сжимающем отображении.
  Теорема о неявной функции.
  Интеграл Римана и Лебега.
  ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
• Гильбертовы пространства, банаховы пространства (определение).
  Существование базиса в гильбертовом пространстве.
  Непрерывные и разрывные линейные операторы. Критерии непрерывности. Примеры компактных операторов.
  ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
• Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда.
  Разбиение единицы.
  Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес).
  Трансверсальность.
  Степень отображения как топологический инвариант.
  
• Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Максвелла электромагнитного поля.
  Теорема Гаусса-Остроградского как частный пример.
  
• Комплексный анализ одного переменного (по книге Анри Картана либо первому тому Шабата).
  Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отображениях из любого односвязного подмножества C в круг, теорема о продолжении границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех.
  Многолистные функции (на примере логарифма).
  
• Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функторы (Маклэйн, Categories for working mathematician, Гельфанд-Манин, первая глава).
• Группы и алгебры Ли.
  Группы Ли.
  Алгебры Ли как их линеаризации.
  Универсальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта.
  Свободные алгебры Ли.
  Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре (желтый Серр, первая половина).
  

Второй курс

• Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко). Когомологии (симплициальные, сингулярные, де Рама), их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопические группы.
  Размерность.
  Расслоения (в смысле Серра), спектральные последовательности (Мищенко, "Векторные расслоения...").
  Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства.
  
• Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни.
  Мультипликативность характера Черна.
  Классифицирующие пространства ("Характеристические Классы", Милнор и Сташеф).
  
• Дифференциальная геометрия.
  Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки.
  Поля Киллинга.
  Кривизна Гаусса двумерного риманова многообразия.
  Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических.
  Теория Морса на пространстве петель (по книге Милнора "Теория Морса" и Артура Бессе "Эйнштейновы Многообразия").
  Главные расслоения и связности в них.
  
• Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд).
  Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы, адическое пополнение, целозамкнутость, кольца дискретного нормирования.
  Плоские модули, локальный критерий плоскости.
  
• Начала алгебраической геометрии.
  (первая глава Хартсхорна либо Шафаревич либо зеленый Мамфорд).
  Афинное многообразие, проективное многообразие, проективный морфизм, образ проективного многообразия проективен (через результанты).
  Пучки.
  Топология Зариского.
  Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство.
  Теорема Гильберта о нулях.
  Спектр кольца.
  
• Начала гомологической алгебры.
  Группы Ext, Tor для модулей над кольцом, резольвенты, проективные и инъективные модули (Атья-Макдональд).
  Построение инъективных модулей.
  Двойственность Гротендика (по книжке Springer Lecture Notes in Math, Grothendieck Duality, номера примерно 21 и 40).
  
• Теория чисел; локальные и глобальные поля, дискриминант, норма, группа классов идеалов (синяя книжка Касселса и Фрелиха).
• Редуктивные группы, системы корней, представления полупростых групп, веса, форма Киллинга.
  Группы, порожденные отражениями, их классификация.
  Когомологии алгебр Ли.
  Вычисление когомологий в терминах инвариантных форм.
  Сингулярные когомологии компактной группы Ли и когомологии ее алгебры.
  Инварианты классических групп Ли.
  (желтый Серр, вторая половина; Герман Вейль, "Инварианты классических групп").
  Конструкции специальных групп Ли.
  Алгебры Хопфа.
  Квантовые группы (определение).
  

Третий курс

• К-теория как когомологический функтор, периодичность Ботта, алгебры Клиффорда.
  Спиноры (книжка Атьи "К-Теория" либо А.С.Мищенко "Векторые расслоения и их применение").
  Спектры.
  Пространства Эйленберга-Маклейна.
  Бесконечнократные пространства петель (по книжке Свитцера либо желтой книжке Адамса либо Адамса "Lectures on generalized cohmology", 1972).
• Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные операторы, символ, эллиптические операторы.
  Свойства оператора Лапласа.
  Самосопряженные операторы с дискретным спектром.
  Оператор Грина и приложения к теории Ходжа на римановых многообразиях.
  Квантовая механика.
  (книжка Р.Уэллса по анализу либо Мищенко "Векторые расслоения и их применение").
  
• Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, Мищенко), формула Римана-Роха.
  Дзета-функция оператора с дискретным спектром и ее асимптотики.
  
• Гомологическая алгебра (Гельфанд-Манин, все главы проме последней).
  Когомологии пучков, производные категории, триангулированные категории, производный функтор, спектральная последовательность бикомплекса.
  Композиция триангулированных функторов и соответствующая спектральная последовательность.
  Двойственность Вердье.
  Формализм шести функторов и превратные пучки.
  
• Схемная алгебраическая геометрия, схемы над кольцом, проективные спектры, производные функции, двойственность Серра, когерентные пучки, замена базы.
  Собственные и отделимые схемы, валюативный критерий собственности и отделимости (Хартсхорн).
  Функторы, представимость, пространства модулей.
  Прямые и обратные образы пучков, высшие прямые образы.
  При собственном отображении высшие прямые образы когерентны.
  
• Когомологические методы в алгебраической геометрии, полунепрерывность когомологий, теорема Зариского о связности, теорема Штейна о разложении.
  
• Кэлеровы многообразия, теорема Лефшеца, теория Ходжа, соотношения Кодаиры, свойства оператора Лапласа (нулевая глава главы Гриффитса-Харриса, понятно изложена в книжке Андре Вейля "Кэлеровы многообразия").
  Эрмитовы расслоения.
  Линейные расслоения и их кривизна.
  Линейные расслоения с положительной кривизной.
  Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий (Гриффитс-Харрис).
  
• Голономии, теорема Амброза-Зингера, специальные голономии, классификация голономий, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы, теорема Калаби-Яу.
  
• Спиноры на многообразии, оператор Дирака, кривизна Риччи, формула Вейценбека-Лихнеровича, теорема Бохнера.
  Теорема Богомолова о разложении многообразий с нулевым каноническим классом (Артур Бессе, "Эйнштейновы многообразия").
  
• Когомологии Тэйта и теория полей классов (Касселс-Фрелих, синяя книжка).
  Вычисление фактора группы Галуа числового поля по коммутанту. Группа Брауэра и ее приложения.
  
• Эргодическая теория.
  Эргодичность бильярдов.
  
• Комплексные кривые, псевдоконформные отображения, пространства Тейхмюллера, теория Альфорса-Берса (по книжке Альфорса тоненькой).
  

Четвертый курс.

• Рациональный и проконечный гомотопический тип Нерв этального покрытия клеточного пространства гомотопически эквивалентен его проконечному типу.
  Топологическое определение этальных когомологий.
  Действие группы Галуа на проконечном гомотопическом типе (Сулливан, "Геометрическая топология").
  
• Этальные когомологии в алгебраической геометрии, функтор сравнения, гензелевы кольца, геометрические точки.
  Замена базы.
  Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии изоморфно Aⁿ.
  Этальная фундаментальная группа (Милн, обзор Данилова из ВИНИТИ и SGA 4 1/2, первая статья Делиня).
  
• Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы, гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел (теорема Ферма).
  
• Рациональные гомотопии (по последней главе книжки Гельфанда-Манина либо статье Гриффитса-Моргана-Длиня-Сулливана).
  Операции Масси и рациональный гомотопический тип.
  Зануление операций Масси на кэлеровом многообразии.
  
• Группы Шевалле, их образующие и соотношения (по книжке Стейнберга).
  Вычисление группы K_2 от поля (Милнор, Алгебраическая К-Теория).
  
• Алгебраическая К-теория Квиллена, BGL⁺ и Q-конструкция (обзор Суслина в 25-м томе ВИНИТИ, лекции Квиллена - Lecture Notes in Math. 341).
  
• Комплексные аналитические многообразия, когерентные пучки, теорема Ока о когерентности, теорема Гильберта о нулях для идеалов в пучке голоморфных функций.
  Нетеровость кольца ростков голоморфных функций, теорема Вейерштрасса о делении, подготовительная теорема Вейерштрасса.
  Теорема о разветвленном накрытии.
  Теорема Грауэрта-Реммерта (образ компактного аналитического пространства при голоморфном морфизме аналитичен).
  Теорема Хартогса о продолжении аналитической функции.
  Многомерная формула Коши и ее приложения (равномерный предел голоморфных функций голоморфен).
  

Пятый курс

• Теория Кодаиры-Спенсера.
  Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана.
  Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей.
  Пространства модулей и их конечномерность (см. лекции Концевича, либо собрание сочинений Кодаиры).
  Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
• Симплектическая редукция.
  Отображение моментов.
  Теорема Кемпфа-Несс.
• Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии.
  Геометрическая теория инвариантов.
  Пространство модулей расслоений на кривой.
  Стабильность.
  Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы.
  Геометрическая теория инвариантов это симплектическая редукция (третье издание Геометрической Теории Инвариантов Мамфорда, приложения Фрэнсис Кирван).
  
• Инстантоны в четырехмерной геометрии.
  Теория Дональдсона.
  Инварианты Дональдсона.
  Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
  
• Геометрия комплексных поверхностей.
  Классификация Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности.
  Критерий Кастельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу.
  Соотношения между численными инвариантами поверхности.
  Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса.
  
• Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и Кавамата-Матсуки-Масуда).
  
• Стабильные расслоения как инстантоны.
  Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии.
  Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении.
  Ее интерпретация в терминах симплектической редукции.
  Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
  
• Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии.
  Инварианты Громова-Уиттена.
  Квантовые когомологии.
  Зеркальная гипотеза и ее интерпретации.
  Структура группы симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина, книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой книжке о псевдоголоморфных кривых и запискам лекций МакДафф и Саламона).
• Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена.
  Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена.
  
• Гиперкэлерова редукция.
  Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса.
  Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
  
• Смешанные структуры Ходжа.
  Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия. Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы.
  Вариации смешанных структур Ходжа.
  Теорема о нильпотентной орбите.
  Теорема об SL(2)-орбите.
  Близкие и исчезающие циклы.
  Точная последовательность Клеменса-Шмида (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods in algebraic geometry").
  
• Неабелева теория Ходжа.
  Вариации структур Ходжа как неподвижные точки C^*-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса (диссертация Симпсона).
• Гипотезы Вейля и их доказательство.
  L-адические пучки, превратные пучки, автоморфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne, плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
  
• Количественная алгебраическая топология Громова, (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces").
  Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в гиперболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметрическим пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны, а dim X > 1).
  
• Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость (Сиу).
  

---

Список полезных книжек по математике

• Первый курс
  • Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича,
  • "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани
  • Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес),
  • Комплексный анализ (Анри Картан), Комплексный анализ (Шабат)
• Второй курс
  • Группы и алгебры Ли (Серр)
  • Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко),
  • "Векторные расслоения и их применения" (Мищенко)
  • "Характеристические Классы" (Милнор и Сташеф)
  • "Теория Морса" (Милнор),
  • "Эйнштейновы Многообразия" (Артур Бессе),
  • Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд),
  • Введение в алгебраическую геометрию (Мамфорд)
  • Алгебраическая геометрия (Гриффитс и Харрис),
  • Алгебраическая геометрия (Хартсхорн)
  • Алгебраическая геометрия (Шафаревич)
  • Алгебраическая теория чисел (ред. Касселс и Фрелих)
  • Теория чисел (Боревич-Шафаревич)
  • Когомологии Галуа (Серр)
  • "Инварианты классических групп" (Герман Вейль)
• Третий курс
  • Бесконечнократные пространства петель (Адамс)
  • К-теория (Атья)
  • Алгебраическая топология (Свитцер)
  • Анализ (Р. Уэллс)
  • Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, сборник Математика)
  • Гомологическая Алгебра (Гельфанд-Манин)
  • Когомологии групп (Браун, что ли)
  • Когомологии бесконечномерных алгебр Ли (Гельфанд-Фукс)
  • Кэлеровы многообразия (Андрэ Вейль)
  • Квазиконформные отображения (Альфорс)
• Четвертый курс
  • Геометрическая топология (Сулливан)
  • Этальные когомологии (Милн)
  • Алгебраическая геометрия - обзор Данилова (Алгебраическая Геометрия 2, ВИНИТИ)
  • Группы Шевалле (Стейнберг)
  • Алгебраическая К-теория (Милнор)
  • Обзор Суслина по алгебраической К-теории из 25-го тома ВИНИТИ
  • Многомерный комплексный анализ (Гото-Гроссханс)
  • То же по книжке Демайи (перевод готовится)
• Пятый курс
  • Громов "Гиперболические группы"
  • Громов "Знак и геометрический смысл кривизны"

Исходник