Числа: олимпиадные задачи

1. Найти целое число, кубичный корень из которого равен количеству тысяч этого числа.

2. Доказать, что сумма цифр числа, являющегося полным квадратом, не может равняться 1967.

3. Найти все тройки натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на третье.

4. При каких k выражение k^(k+1)+ (k+1) ^k делится на 3?

5. Найти наименьшее натуральное число а такое, что выражение 50^n+а*23^n делится на 1971 при любом нечетном п.

6.** Доказать, что для любого натурального к найдет- ся к составных чисел, попарно взаимно простых и обра- зующих арифметическую прогрессию.

7.* Доказать, что не существует арифметической прогрессии с разностью, меньшей 1968, в которой подряд располагалось бы одиннадцать различных простых чисел.

8. Для данного числа n составляется число n1, равное сумме кубов цифр числа n. Для числа n1 таким же образом составляется число n2 и т. д. Доказать, что, начиная с некоторого номера, числа в этой последовательности начнут периодически повторяться.

9. Все двузначные числа, не оканчивающиеся нулем, выписывают одно за другим так, что каждое следующее начинается с той же цифры, на которую оканчивается предыдущее. Получается некоторое многозначное число. Из всех многозначных чисел, которые можно получить таким образом, выбирают наибольшее и наименьшее. Найти их сумму.

10. Пусть 1, д.2, 23, d3, ..., dn - всевозможные Делители числа п. Доказать, что (d1d2 • дз * dn) 2 =n^k.

11. Обозначим через s сумму всех делителей числа n, а через k - их число. Доказать, что при n>=2 ¾*n ≥ s/k ≥ sqrt(n)

12. Доказать, что число (nk)! / ((n!)^k * k!) целое.

Бесконечные радикалы

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}$, a > 0

Предел последовательности x1 = $\sqrt{a}$, x2 = $\sqrt{a+\sqrt{a}}$, x2 = $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}$. В общем x_n = $\sqrt{a+\sqrt{x_n}}$, x₀ = 0.

Докажим, существует lim xn n -> ∞. 1) xn - монотонно возрастает
Математическая индукция
1. x2 > x1 <= sqrt(a + sqrt(a)) > sqrt(a)
2. Assume xn > xn - 1
3. Prove xn+1 > xn: xn+1 = sqrt(a + xn) > sqrt(a+xn-1) = xn

2) xn ограничена сверху: xn < sqrt(a) + 1
Математическая индукция
1. x1 = sqrt(a) < sqrt(a) + 1
2. Assume xn < sqrt(a) + 1
3. Prove xn+1 < sqrt(a) + 1: xn+1 = sqrt(a+xn) < sqrt(a + sqrt(a) + 1) < sqrt(a + 2*sqrt(a) + 1) = sqrt(a) + 1

L = lim xn, L^2 = lim (xn+1)^2 = lim(sqrt(a + xn))^2 = a + lim xn = a + L, L^2 = a + L, L = (1 + sqrt(1+4a)) / 2