1. На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.
2. Докажите, что если сумма квадратов двух чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел тоже делится на 3.
3. Докажите, что если треугольник можно разбить на два неравных подобных треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.
4. Известны пять последовательных сторон описанного шестиугольника. Найдите шестую.
5. В некотором царстве есть несколько городов, причем все расстояния между ними различны. Из каждого города вылетает самолет и летит в ближайший город. Могут ли в одном городе приземлиться больше 5 самолетов?
6. Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого, причем разные вершины — на разных сторонах. Докажите, что центры этих параллелограммов совпадают.
7. Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно Два центра симметрии.
8. Можно ли расставить по окружности 20 красных и несколько синих фишек так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя и никакие две синие фишки не стояли рядом?
9. Сумма 10 различных натуральных чисел равна 1994. Какое наибольшее значение может принимать сумма трех наименьших из них?
10. В каждой клетке бесконечного листа бумаги написано число. Докажите, что найдется число, которое не превосходит по крайней мере четырех из восьми чисел, стоящих с ним рядом.
11. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 100 членов — целые числа, а все остальные члены не являются целыми?
12. Докажите, что если число делится на 99, то сумма его цифр не меньше 18.
13. Докажите, что среди частей разбиения плоскости п прямыми найдется не более одного выпуклого n-угольника.
14. Каждая из вершин треугольника соединена отрезком с произвольной внутренней точкой противоположной стороны треугольника. Докажите, что середины полученных отрезков не лежат на одной прямой.
15. Докажите неравенство:
16. Даны четыре точки А, В, С и D. Известно, что С ближе к А, чем к B, и D ближе к А, чем к В. Докажите, что любая точка на отрезке CD ближе к А, чем к В.
17. В (2N+1)-угольнике проведены все диагонали. Можно ли на сторонах и диагоналях поставить стрелки так, чтобы сумма получившихся векторов равнялась нулю?
18. Может ли случиться так, что
19. Президент акционерного общества «Не обманешь - не продашь» объявил на собрании акционеров, что за каждые пять последовательных месяцев расход фирмы превышал доход, а за весь год доход превысил расход. Должны ли акционеры подать на него в суд?
20. Два поезда едут по перпендикулярным путям к точке пересечения. Один поезд находится на расстоянии 80 км от точки пересечения, и его скорость 30 км/ч. Другой поезд - на расстоянии 40 км, и его скорость 40 км/ч. Через какое время поезда будут на наименьшем расстоянии друг от друга и чему равно это расстояние?
21. Можно ли в кубе проделать дыру так, чтобы протащить через нее такой же куб?
22. Среди многочленов вида x2 + px + q найти такой, у которого максимум модуля на отрезке [-1, 1] минимален.
23. Из бумаги вырезан выпуклый четырехугольник АBCD, а из картона - PQRS. Картонный положили на бумажный так, что по одной его вершине попало на каждую сторону бумажного и перегнули оставшиеся части бумажного, при этом картонный оказался закрыт в один слой. Докажите, что у бумажного четырехугольника либо есть параллельные стороны, либо перпендикулярные диагонали.
24. На бесконечном листе в клетку рисуют круги и считают, сколько узлов сетки в него попало. Для каждого ли натурального числа и существует круг, содержащий ровно n узлов?
25.
а) В треугольник Т1 вписана окружность. Т2 - треугольник образованный точками касания. Докажите, что биссектрисы треугольника Т1 являются серединными перпендикулярами треугольника Т2.
6) Середины сторон треугольника Т2 образуют треугольник Т3. Докажите, что биссектрисы Т1 являются высотами Т3.
в) Основания высот Т3 образуют треугольник Т4. Докажите, что биссектрисы Т1 являются биссектрисами Т4.
26. Найдите две обыкновенные дроби - одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13 такие, что они не равны нулю и разность между большей и меньшей из них наименьшая.
27. Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найдите геометрическое место середин получившихся хорд.
28. В круге проведены два радиуса. Постройте хорду, которая делится ими на три равные части.
29. Докажите, что любое нечетное число представимо в виде разности двух квадратов.
30. Докажите, что оси симметрии многоугольника пересекаются в одной точке.
31. Дана единичная окружность с центром в начале координат. Рассматриваются прямые, заданные уравнениями ax + by = c, a, b, с ∈ ℚ, проходящие через точку (1,0). Докажите, что точки пересечения этих прямых с окружностью имеют рациональные координаты.
32. С помощью циркуля и линейки провести из данной точки А прямую, перпендикулярную данной прямой l, проведя не более трех линий (третья линия есть искомый перпендикуляр). Рассмотрите случаи, когда А ∉ l и когда А ∈ l.
33. Докажите, что если средняя линия четырехугольника равна полусумме оснований, то такой четырехугольник трапеция.
34. Докажите, что дробь будет чисто периодической тогда и только тогда, когда q взаимно просто с 10.
35. Докажите, что если в треугольнике середины высот лежат на одной прямой, то этот треугольник прямоугольный.
36. Можно ли все натуральные числа раскрасить в два цвета так, чтобы не было бесконечной арифметической прогрессии одного цвета?
37. Докажите, что a4 + b4 + c4 > a2bc + ab2c + abc2.
38. Пусть P(x) — многочлен, дающий остаток А при делении на х - а, остаток В при делении на х - b, остаток С при делении на х - с. Найдите остаток P(x) при делении на (х - a) (x - b)(х – с).
39*. Найдите на данной прямой точку, из которой данный отрезок виден под наибольшим углом.
40. Через точки пересечения двух окружностей проводят- ся две произвольные секущие. Докажите, что хорды, соединяющие новые точки пересечения этих секущих с окружностями, параллельны.
41. В государстве 1990 городов. Докажите, что их можно соединить дорогами с односторонним движением так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый либо по одной, либо по двум дорогам.
42. Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
43. Покажите, что числа 49, 4489, 444889, (каждое следующее получается путем приписывания внутрь предыду- щего числа 48) являются полными квадратами.
44. Дана таблица 8 х 8, в одной из клеток которой стоит знак «-», а в остальных - «+». Разрешается за один ход менять все знаки на противоположные в клетках произвольного квадрата 2×2. Можно ли добиться того, чтобы во всех клетках стояли знаки «+»?
45. По окружности написали 99 цифр и прочитали их по часовой стрелке, начиная с некоторого места. Получилось число, делящееся на 81. Докажите, что, с какого бы места ни стали читать цифры, получится число, делящееся на 81.
46. Дан выпуклый многоугольник. Среди окружностей, проходящих через три его последовательные вершины, выбирается окружность наибольшего радиуса. Докажите, что она содержит его целиком.
47. Три окружности равного радиуса с центрами в точках А, В, С пересекаются в одной точке О. Докажите, что площади трех множеств точек, принадлежащих только одной окружности, равны удвоенной площади треугольника ABC.
48. Докажите, что любые 10 точек на плоскости являются концами 5 непересекающихся отрезков.
49. На плоскости отметили два миллиона точек. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находится ровно по миллиону точек?
50. В куче m камней. Два игрока по очереди берут из нее камни, причем на k-ом ходу можно брать от 1 до k камней. Выигрывает тот, кто берет последний камень. При каких m у первого игрока есть выигрышная стратегия?
51. На каждой стороне прямоугольника взяли по точке. Докажите, что периметр полученного четырехугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
52. Докажите, что для каждого невыпуклого многоугольника найдется выпуклый многоугольник с таким же периметром, но большей площади.
53. Прямоугольник m х n сложен из единичных квадратиков. Какое наименьшее число квадратиков может пронзить прямая линия, не проходящая через их вершины?
54. Теорема Паппа. На сторонах АВ и ВС произвольного треугольника АВС строятся два произвольных параллелограмма. Их стороны, противоположные сторонам треугольника, продолжаются до пересечения в точке S. На стороне АС строится параллелограмм, две стороны которого равны и параллельны BS. Докажите, что площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух.
55. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Как с помощью одной линейки (без делений) разделить его пополам?
56. На плоскости расположены 4 точки. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, у которого один из углов имеет величину не больше 45°.
57. Двое по очереди ставят на шахматную доску размером n х n коня на любую незанятую клетку, которая не бьется ни одним из стоящих коней. Тот, кто не может поставить коня проигрывает. Кто победит при правильной игре?
58. Можно ли разрезать квадрат на конечное число а) остроугольных, б) тупоугольных треугольников?
59. Из шахматной доски вырезаны одна черная и одна белая клетки. Докажите, что ее можно замостить прямоугольниками из двух клеток.
60. Отмечено 101 натуральное число. Все они различны и меньше 200. Докажите, что среди них можно выбрать три числа так, чтобы сумма двух была бы равна третьему.
61. Суммы коэффициентов многочленов P(x) и Q(x) равны единице. Найдите сумму коэффициентов многочлена P(x)Q(x).
62. Пусть х = p1^a1 *...*рn^an, р - различные простые числа Выразите через ai, р а) сумму делителей х, б) число делителей х, в) количество чисел от 1 до х, взаимно простых с х.
63. Дан выпуклый четырехугольник. Вписать в него параллелограмм так, чтобы его стороны имели данные направления.
64. Докажите, что отрезок, лежащий внутри четырехугольника и содержащий точку пересечения его диагоналей, не превосходит по длине максимальной диагонали.
65. Можно ли разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных ему так, чтобы среди них не было равных?
66. Назовем ядром n-угольника множество точек, из которых целиком видны все его стороны. Докажите, что ядро n-угольника - выпуклый многоугольник, имеющий не более п сторон. Сколько сторон может иметь ядро n-угольника?
67. Окружность ω1 вписана в треугольник АВС, а окружность ω2 описана около ABC. На окружности ω2 взята произвольная точка Х. Докажите, что на окружности ω2 найдутся точки Y и Z такие, что треугольник XYZ описан около окружности ω1.
68. Дана окружность и на ней точка А. Произвольная окружность с центром в А пересекается с данной в точках К и Р и касается диаметра данной окружности в точке Н. Найдите множество точек пересечения отрезков КР и АН.
69. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой. В каждой точке записано число, причем сумма чисел в точках, лежащих на одной прямой, равна 0. Докажите, что все числа равны 0.
> 70. Постройте на прямой систему отрезков единичной длины без общих точек, пересекающуюся с любой бесконечной арифметической прогрессией.
71. Плоскость разрезана на выпуклые четноугольники. Докажите, что их вершины можно правильно раскрасить в два цвета (т.е. соседние будут разного цвета).
72. Ребра дерева окрашены в два цвета. Если в какую-то вершину приходят ребра только одного цвета, то их все можно перекрасить в другой цвет. Можно ли все дерево сделать одноцветным?
73. По правилам турнира, если два рыцаря А и В дрались с С, то они не дерутся между собой. Найдите минимальное число поединков, если в турнире участвуют 2п рыцарей.
74. На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи выбрасывают камень, а затем одну из куч делят на две. (Выброшенный камень исчезает.) Можно ли добиться того, чтобы через несколько ходов на столе остались только кучи, состоящие из трех камней?
75. На клетчатом листе бумаги размером 21 х 21 вершины клеток окрашены в красный и синий цвета, причем все крайние верхние и все крайние правые вершины, кроме самой нижней, - красные, а все остальные крайние вершины - синие. Докажите, что найдется клетка с двумя красными и двумя синими вершинами, причем красные вершины лежат на одной ее стороне.
76. На плоскости и точек попарно соединены отрезками. Самый длинный из них назовем диаметром. Докажите, что диаметров не больше n.
77. При n > 3 вписанный четырехугольник можно разрезать на n вписанных четырехугольников. Докажите.
78. Прямоугольник разрезан прямыми, параллельными его сторонам, на mn частей (m - 1 прямая параллельна одной паре сторон прямоугольника, и n-1 прямая - другой). Каждая часть покрыта карточкой, на обороте которой написана площадь этой части. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы определить площадь исходного прямоугольника?
79. Брат и сестра делят треугольный торт. Брат указывает точку на торте, а сестра проводит через нее прямой разрез и берет одну часть. Каждый хочет получить побольше. Где брату следует указать точку и какую часть торта он при этом получит?
80. Докажите, что существует число, сумма цифр квадрата которого более чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.
81. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13. (Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних.)
82. Две касательные к кругу неподвижны, а третья движется. Докажите, что отрезок подвижной касательной, заключенный между двумя неподвижными, виден из центра круга под постоянным углом.
83. Найдите сумму
84. Найдите число двоек в разложении на множители числа (n+1)(n+2)... (2n).
85. Решите систему:
86. Докажите, что если n пробегает все натуральные значения, то пробегает все натуральные значения за исключением точных квадратов.
87. Докажите, что прямая, которая делит площадь тре угольника пополам, делит его периметр в отношении не больше 3:1.
88. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника взяты точки P, Q и R так, что AQ, BR и CP пересекаются в одной точке и сумма векторов . Докажите, что P, Q и R — середины сторон треугольника.
89. Разделить отрезок пополам с помощью одного циркуля.
90. В данный треугольник вписать центрально симметричный многоугольник максимальной площади.
91. Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.
92. Докажите, что
а) любой корень уравнения хn + a1xn-1+...+an = 0 с целыми коэффициентами есть либо целое, либо иррациональное число.
6) Если a = несократимая дробь,
которая является корнем уравнения a0xn + ... + an = 0 с целыми коэффициентами, то р делит аn, а q делит а0.
> 93. Докажите, что если четырехугольник вписан и описан, то его площадь равна корню из произведения сторон.
94. На окружности проведено 100 хорд, из которых любые две пересекаются. Всегда ли можно провести еще одну хорду так, чтобы она пересекала их все?
95. Докажите, что для любого целого D произведение чисел вида x2 + Dy2 снова представимо в таком же виде. То же верно для чисел вида х2 + ху+y2.
96. Внутри квадрата ABCD построены правильные треугольники АВК, BCL, CDM, DAN. Докажите, что середины четырех отрезков KL, LM, MN, NK вместе с серединами восьми отрезков АК, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN являются вершинами правильного 12-угольника.
97. Какое количество ходов требуется хромому слону, чтобы обойти все белые клетки доски 10х10? (Он ходит только на одну клетку по диагонали.)
98. Какова максимальная длина последовательности чисел, сумма любых 7 последовательных членов которой положительна, а сумма любых 11 - отрицательна?
99. На сторонах СВ и CD квадрата ABCD выбраны точки М и К так, что периметр треугольника СМК равен удвоенной стороне квадрата. Найдите угол МАК.
100. В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединен авиалиниями ровно с 10 городами (если А соединен с В, то В соединен с А). Известно, что из любого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Докажите, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из любого города в любой другой сохранится.
101. Дан неравносторонний треугольник. В него вписывают окружность. В точках касания строят новый треугольник. В него снова вписывают окружность и т.д. Докажите, что среди получившихся треугольников нет двух подобных.
102. Вписать в квадрат правильный треугольник наибольшей площади.
103. Докажите, что а) простых чисел вида 4k - 1 и 6k - 1 бесконечно много, б) простых делителей значений многочлена с целыми коэффициентами (отличного от константы) бесконечно много.
104. Пятьдесят клеток шахматной доски и 50 шашек занумерованы числами от 1 до 50. За один ход любую шашку можно поставить на любое свободное место. Докажите, что Для расстановки шашек на свои места требуется не больше 75 ходов.
105. Многоугольник, вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного прямоугольника быть больше периметра первоначального?
106. Десять пятаков расположены в виде замкнутой цепочки (т.е. первый касается второго, второй - третьего и т.д., десятый - первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из этих пятаков. Сколько оборотов он сделает, вернувшись в исходное положение?
107. Даны n отрезков. Их соединили в некотором порядке и получили n-угольник. Может ли так случиться, что, соединив отрезки в другом порядке и меняя произвольно углы между ними, всегда будут получаться многоугольники меньшей площади?
> 108. Докажите, что из всех n-угольников с данным набором сторон наибольшую площадь имеет тот, который вписан в окружность.
109. На плоскости нарисованы две пересекающиеся окружности. Одной линейкой постройте их центры.
110. Внутри выпуклого 10-угольника отметили 10 точек и разбили его на треугольники с вершинами в этих точках и вершинах 10-угольника. Может ли при этом получиться 30 треугольников?
111. В целочисленную решетку на плоскости вбили тонкие гвозди и положили вектор длины 1987. Можно ли повернуть его на 180 так, чтобы он не задел ни одного гвоздя?
112. Сколько решений имеет уравнение в рациональных числах: х^2 + х + 1 = y^2?
113. На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: а) некоторые 8 отрезков имеют общую точку, б) найдется 8 отрезков, никакие 2 из которых не пересекаются.
114. Докажите, что Москву можно обойти, пройдя по всем улицам ровно два раза.
115. Груз весом 13.5 т упакован в ящики. Вес каждого ящика не больше 350 кг. Какое наибольшее число полуторатонных грузовиков может понадобиться для перевозки груза?
116. а) Докажите, что для некоторого р в десятичной записи числа 2^100 р нет ни одного нуля. б) Докажите, что если последняя цифра числа к не нуль, то для некоторого р в десятичной записи числа kp нет нулей.
117. Через данную точку М провести прямую, отсекающую от сторон угла треугольник заданного периметра.
118. Назовем натуральные числа m и n родственными если, во-первых, они имеют одни и те же простые делители, и, во-вторых, числа m - 1 и n - 1 обладают тем же свойством. Докажите, что существует бесконечно много пар различных родственных чисел.
119. Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Докажите, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
120. В одном бидоне находится 1 л воды, а в другом - 1 л спирта. Всякий раз из первого переливается одна ложка жидкости во второй, и после перемешивания столько же жидкости возвращается обратно. Докажите, что относительное содержание спирта в сосудах стремится к 50%.
121. Докажите, что две замкнутые кривые имеют четное число точек пересечения (касание пересечением не считается).
122. Пять ямок расположены в ряд. В каждой лежит по шарику. За ход разрешается переложить все шарики из какой-нибудь ямки в соседнюю справа ямку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (когда все шарики лежат в самой правой ямке). Кто победит, если игроки не делают ошибок?
123. Пусть AD и BC основания трапеции ABCD. Прямая, параллельная АВ и проходящая через вершину С, пересекает диагональ BD в точке М; прямая, параллельная CD и проходящая через вершину В, пересекает диагональ АС в точке N. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.
124. Если 17-угольник переходит в себя при некотором повороте, то он — правильный. Докажите.
125. Как должна двигаться ладья по шахматной доске, чтобы побывать на каждом поле ровно один раз и сделать наименьшее число поворотов? (Если ладья пронеслась над клеткой, то она там побывала.)
126. Имеется 100 монет на общую сумму 2 рубля. Докажите, что из них всегда можно выбрать несколько на сумму 1 рубль.
127. В компании 18 человек. Докажите, что среди них есть 4 попарно незнакомых человека или 4 попарно знакомых.
128. Докажите, что в выпуклом многоугольнике с четным числом сторон есть диагональ, которая не параллельна ни одной из сторон.
129. В классе поровну мальчиков и девочек. Каждый мальчик дружит с четным числом девочек. Докажите, что можно выбрать несколько мальчиков так, чтобы с каждой де- вочкой дружило четное число мальчиков из этой группы.
130. Найдите геометрическое место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.
131. Вокруг треугольника АВС описана окружность. Ее центр О находится внутри треугольника. Из точки О опущены перпендикуляры на стороны и продолжены до окруж- ности; получились точки К, М, Р. Докажите, что сумма векторов ОК, ОМ, ОР равна OQ, где Q - центр вписанной окружности.
132. Докажите, что существует бесконечно много пар натуральных чисел А и В таких, что А^2 + 1 делится на В, а В^2 +1 делится на А.
133. Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Докажите, что N делится на 3.
134. На плоскости дано п точек, соединенных непересекающимися отрезками. Может ли оказаться так, что каждая точка будет соединена ровно с 6 другими?
135. Найдите 10-значное число а0…а9, у которого а0 равно количеству нулей в десятичной записи, а1 - количеству единиц, .. a9 - количеству девяток.
136. Двое играют на клетчатом листе бумаги 30 х 30. Начинающий делает разрез вдоль одной стороны квадратика от края листа, второй продолжает этот разрез вдоль одной стороны квадратика и т.д. Выигрывает тот, после чьего хода от листа отвалится кусок. Кто выиграет при правильной игре?
137. Можно ли разбить правильный треугольник на конечное число попарно различных правильных треугольников?
138. В окружность вписан 2n-угольник, стороны которого занумерованы по часовой стрелке. Докажите, что для любой точки окружности произведение расстояний до сторон с четными номерами равно произведению расстояний до сторон с нечетными номерами.
139. Дано натуральное число N. К нему справа приписывают по одной цифре, кроме девятки. Докажите, что рано или поздно получится составное число.
140*. Два художника играют в раскраску карты (первоначально пустой). Первый рисует новую страну (многоугольник, не лежащий внутри уже нарисованных), а второй красит ее так, чтобы страны, граничащие по отрезку прямой, были покрашены в разные цвета. Может ли первый художник заставить второго использовать больше а) четырех, б) десяти цветов?