1. Сколько существует трехзначных чисел?
Решение
2. На числовой прямой отмечены две точки. Где расположено их среднее арифметическое?
Решение
3. В энциклопедии за 1980 г. написано, что в США и Великобритании рабочие составляют 90% населения, а получают они только 40% национального дохода. Во сколько раз больше получает средний нерабочий, чем средний рабочий?
4. Есть две кучи камней. Два игрока по очереди берут любое количество камней, но только из одной кучи.
Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Может ли кто-то из них гарантированно выиграть?
Решение
5. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и плотник. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. Профессии и фамилии названы в произвольном порядке. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, и он самый младший из друзей. Семенов женат на сестре Борисова, он старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и плотника.
6. Докажите, что произведение цифр любого числа не больше его самого.
7. Докажите, что если прямая, проведенная из вершины С треугольника АВС, делит медиану, опущенную из вершины А, пополам, то она делит сторону АВ в отношении 1:2.
8. Постройте 25 офицеров из 5 разных родов войск и 5 разных рангов в каре 5 х 5 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге встречались бы офицеры всех родов войск и всех рангов.
9. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?
10. Постройте треугольник, если известны все его углы и периметр.
11. Существует ли бесконечная последовательность из двух букв такая, что никакая комбинация из нескольких букв не повторится два раза подряд?
12. Каждую грань кубика разбили на четыре равных кваДрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону,
были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено 8 квадратов.
13. Можно ли какой-нибудь треугольник поместить внутрь круга, радиус которого меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности?
14. Путешественник выходит из гостиницы в 3 часа дня и возвращается в 9 часов вечера по тому же маршруту.
Известно, что по ровным участкам он идет со скоростью 4 км в час, в гору - 3 км в час, под гору - 6 км в час.
Найдите расстояние, которое прошел путешественник, если он шел без отдыха.
15. Докажите, что любые 100 точек на плоскости можно разбить на две группы так, чтобы никакая прямая не отделяла одну группу от другой.
16. Верен ли следующий признак равенства треугольников: по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
17. Когда я сбегаю по эскалатору станции метро «Октябрьская», то успеваю насчитать 100 ступенек,
а когда бегу вниз по эскалатору, идущему вверх, насчитываю 300 ступенек.
Сколько ступенек на неподвижном эскалаторе?
18. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске, чтобы они не били друг друга? (Все ладьи одинаковые.)
19. В трех кошельках разное число монет. В любые два кошелька можно добавить по одной монете.
Как за несколько таких операций уравнять число монет во всех кошельках?
20. Волк и волчонок, медведь и медвежонок, лис и лисенок решили переправиться с левого берега реки на правый.
У них была лодка, в которую помещались любые двое из них.
Как им переправиться на другой берег, если нельзя оставлять детенышей с чужими папами без своего?
21. Замостите плоскость одинаковыми многоугольниками:
a) 5-угольниками,
б) 7-угольниками.
22. В легенде об изобретателе шахматной игры говорится, что на первую клетку доски он просил положить одно рисовое зернышко,
на вторую - два, на третью - четыре и так далее, каждый раз удваивая количество зерен. Выразите общее количество зерен на доске.
23. Вася считает пальцы от большого до мизинца, затем в обратном порядке (каждый счет приходится на другой палец), затем обратно и т.д.
На какой палец придется счет 1990?
24. Докажите неравенство: 1-(1-а)(1-b)(1-c) > с, если 0≤a≤b≤c≤1.
25. Расшифруйте ребус, где буквами обозначены цифры, причем известно, что Т = 0.
26. Три целых числа связаны соотношением x2 + y2 = z2. Докажите, что х или у делится на 3.
27. Катер, плывя вверх по реке, потерял под мостом бутылку.
Обнаружив потерю через 10 минут, он повернул обратно и нагнал бутылку на расстоянии 1 км от моста.
Определите скорость реки.
28. Найдите множество середин всех отрезков, концы которых лежат
a) на данной полуокружности;
б) на фигуре, являющейся объединением диагоналей квадрата.
29. Если напечатать все числа от 1 до 1000, то сколько раз встретится цифра 3?
30. Сколько чисел среди 1, 2, 3, ..., 1000 содержат в своей записи хотя бы одну тройку?
31. На шахматной доске расставляют королей так, чтобы они били все клетки.
Каково наименьшее число королей? (Клетка, на которой стоит король, считается битой.)
32. Шестизначное число делится на 7.
Докажите, что, если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
33. Построить четырехугольник, зная все его стороны и угол между двумя противоположными сторонами.
34. Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
35. На прямой в точке с координатой ноль сидит бактерия. Каждую минуту бактерия делится
(если бактерия находилась в точке J, то через минуту две бактерии находятся в точках с координатами J—1 и J+1).
Если в одну точку попадают две бактерии, то они обе погибают.
Как будут расположены бактерии на прямой через 2 часа и 8 минут?
36. Вычислить кубические корни из чисел вида чисел вида 1331, 1030301, 1003003001, 1000300030001,...
37. Найдите три попарно взаимно простых числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье.
38. Докажите, что простые числа большие трех можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n - 1, где n - натуральное число.
39. Удвоить отрезок с помощью одного циркуля.
40. Имеется 10 мешков монет.
41. В каплю воды, где находились 1000 бактерий, посадили один вирус.
После этого каждую минуту стало происходить следующее: каждый вирус уничтожал по одной бактерии,
после чего каждая бактерия делилась на две бактерии, а каждый вирус на два вируса.
Верно ли, что через некоторое время не останется ни одной бактерии?
42. Каждый из четырех гномов Беня, Веня, Женя, Сеня либо всегда врет, либо всегда говорит правду,
Мы услышали такой разговор.
43. По кругу стоят числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Разрешается взять любые два соседних числа и вместо них записать на их места среднее арифметическое этих чисел.
Можно ли, повторив много раз эту операцию, получить 8 одинаковых чисел?
44. Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: (1) (3,5) (7,9,11) (13,15,17,19)...
Найдите сумму чисел в сотой группе.
45. Ваня, Андрей и Алеша играли в настольный теннис.
Проигравший партию всякий раз уступал место тому, кто в ней не участвовал.
За день Ваня сыграл 10 партий, Андрей 21 партию. Сколько партий сыграл Алеша?
46. Докажите, что множество простых чисел бесконечно.
47. В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
48. Докажите, что любые 10 двузначных чисел можно так разбить на две группы, что суммы чисел в группах совпадут.
49. Каждые двое из 17 ученых переписываются по одной из трех тем.
Докажите, что есть трое ученых, пишущих друг другу по одной и той же теме.
50. Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что его вершины принадлежат разным прямоугольникам,
площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.
51. При данной сумме положительных чисел произведение максимально тогда, когда они равны.
При данном произведении положительных чисел сумма минимальна тогда, когда эти числа равны. Докажите.
Решение
Решение
Решение
S1 - равнинный путь, S2 - путь в гору туда, S3 - путь под гору туда.
Общее расстояние до цели S = S1+S2+S3.
Время туда = S1/4 + S2/3 + S3/6,
время обратно = S1/4 + S2/6 + S2/3,
итого S1(1/4+1/4) + S2(1/3+1/6) + S3(1/6+1/3) = 1/2(S1+S2+S3) = S/2.
S = 2 * (9-3) = 12 км, общее = 2*12 = 24 км.
DONALD
+GERALD
-------
ROBERT
а) В девяти мешках монеты настоящие, каждая весит 10 г, а в одном фальшивые, каждая весит 11 г. Как одним взвешиванием с помощью рычажных весов без гирь определить этот мешок?
б) Тот же вопрос для случая, когда мешков с фальшивыми монетами несколько.
Веня - Бене: «Ты врун».
Женя - Вене: «Сам ты врун».
Сеня - Жене: «Да оба они вруны, (подумав) впрочем, и ты тоже».
Кто из них говорит правду?
Решение
11 партий, А - Андрей, В - Ваня, Л - Алеша, все партии: АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ АВ АЛ